こんにちは、アップ開進館名塩校です。

今回は3/12(水)に行われた兵庫県公立高校入試 数学の大問5のポイント解説です。

 

(1)は典型的な砂時計型の相似の問題ですので、確実に正解しておきたい問題です。その後、平行四辺形や二等辺三角形の性質, 三平方の定理を用いながら, 各線分の長さを求め、(1)の相似を利用すれば、(3)まで求められます。宝塚北以上の偏差値の高校を目指す方であれば、ここまで得点できれば十分でしょう。しかし、(4)は、答えは出たものの、間違ってしまった受験生は少なくなかったでしょう。おそらくこの年の最も正答率が低い問題だったのではないでしょうか。その理由は…

まず、この場合求める面積の形が、バウムクーヘン型であることは、イメージができましたか？例えば、長さが2と3の半径の円を、中心を同じ位置に固定して、一回転させると内と外でバウムクーヘンができますよね。これと同じ要領です。

「なんだ、楽勝じゃん！」と(BC²－BF²⁾π＝4πとすると、間違いです。これに惑わされた受験生も多かったのではないでしょうか。

では、何が間違いだったのでしょうか。それは、BFが果たして線分CFに対する最短距離であるかどうかです。バウムクーヘンの厚みは、(中心からの最長距離)－(中心からの最短距離)ですからね！　では、点(点B)と直線(辺FC)の最短距離は…？　点から直線に垂線を下ろしたときの長さになりますね。このとき、辺FCとの交点は図中のGになります。なぜなら、∠B＋∠C＝180°, 線分BE・線分CFはそれぞれ∠B・∠Cの二等分線であることから、∠CBE＋∠BCF＝90°となり、∠BGC＝90°となります。ここから三平方の定理等を用いれば、BGの長さを求めることができます。

 

よって、この大問は中3の相似の知識、中2の角度の知識、中1の図形の知識、さまざまな知識が問われた問題でした。最近の数学の入試問題は単元を横断する傾向が高くなっているように感じます。受験生の皆さんは、学校の勉強も大事ですが、前学年の内容の復習も行っていきたいですね。

 

次回は、数学の大問６を分析する予定です。

 

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